映射定理

开映射定理有一些重要的结果：

如果 : → 是巴拿赫空间 和 之间的 双射连续线性算子，那么逆算子 : → 也是连续的。(Rudin 1973, 推论2.12) 如果 : → 是巴拿赫空间 和 之间的线性算子，且如果对于 内的每一个 序列( )，只要 → 0且 → 就有 = 0，那么 就是连续的（ 闭图像定理）。(Rudin 1973, 定理2.15)

我们需要证明，如果  : → 是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么 就是一个开映射。为此，只需证明 把 内的单位球映射到 的原点的一个邻域。

设 ， 分别为 和 内的单位球。那么 是单位球的倍数   的序列的交集， ∈ N，且由于 是满射，

根据 贝尔纲定理，巴拿赫空间 不能是可数个 无处稠密集的并集，故存在 > 0，使得 ( )的 闭包具有非空的 内部。因此，存在一个开球 ( , )，其中心为 ，半径 > 0，包含在 ( )的闭包内。如果 ∈ ，那么 +   和 位于 ( , )内，因此是 (   )的 极限点，根据加法的连续性，它们的差 是 (   ) − (   ) ⊂ (2   )的极限点。根据 的线性，这意味着任何 ∈ 都位于 (    )的闭包内，其中 =  / (2 )。于是可以推出，对于任何 ∈ 和任何 > 0，都存在某个 ∈ ，满足：

<IMG class=tex alt="\ ||x||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y - Ax||

固定 ∈   。根据(1)，存在某个  1，满足||  1|| < 1且|| −    1|| <  / 2。定义序列{ }如下。假设：

<IMG class=tex alt="\ ||x_{n}||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n)||

根据(1)，我们可以选择    +1，使得：

<IMG class=tex alt="\ ||x_{n+1}||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n) - A(x_{n+1})||

因此    +1满足(2)。设

从(2)的第一个不等式可知，{ }是一个 柯西序列，且由于 是完备的， 收敛于某个 ∈ 。根据(2)，序列   趋于 ，因此根据 的连续性，有   = 。而且：

<IMG class=tex alt="||x||=\lim_{n \rightarrow \infty} ||s_n|| \leq \sum_{n=1}^\infty ||x_n||

这表明每一个 ∈   都属于 (2  )，或等价地， 内的单位球的像 ( )包含了 内的开球(  / 2)  。因此， ( )是 内0的邻域，定理得证。

 或  的局部凸性不是十分重要的，但完备性则是：当 和 是F空间时，定理仍然成立。更进一步，这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合(Rudin, 定理2.11)：

设 为F空间， 为 拓扑向量空间。如果 : → 是一个连续线性算子，那么要么 ( )是 内的贫集，要么 ( ) = 。在后一个情况中， 是开映射， 也是F空间。 更进一步，在这个情况中，如果 是 的 核，那么 有一个标准分解，形如下式：