- 埃伦费斯特定理
埃伦费斯特定理
导引
假设，一个物理系统的量子态为 
，则算符 
的期望值对于时间的导数为
薛定谔方程表明哈密顿算符 
与时间 
的关系为
。
其共轭复数为
。
因为哈密顿算符是厄米算符，
。所以，
。
将这三个方程代入 
的方程，则可得到
。
所以，埃伦费斯特定理成立：
。
实例
使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。
从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。
保守的哈密顿量
思考哈密顿算符 ：
。
假若，哈密顿量显性地不含时间，
，则
，
哈密顿量是个常数
。
位置的期望值对于时间的导数
试想一个质量为 
的粒子，移动于一维空间．其哈密顿量是
;
其中，
为位置，
是动量，
是位势。
应用埃伦费斯特定理，
。
由于 
，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：
。
这样，可以得到动量 
的期望值。
动量的期望值对于时间的导数
应用埃伦费斯特定理，
。
由于 
与自己互相交换，所以，
。又在坐标空间里，动量算符 
不含时间：
。所以，
。
将泊松括号展开，
。
使用乘法定则，
。
在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力 
的期望值。
经典极限
取经典极限，
，则可得到一组完全的量子运动方程：
，
。
这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：
，
。
取“经典极限”，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢？标记 
为 
。设定 
。泰勒展开 
于 
：
。
由于 
，
，
。
这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：
1、一个是量子态对于位置的不可确定性。
2、另一个则是位势随着位置而变化的快缓。
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