勒贝格控制收敛定理

设为一个测度空间， 是一个实值的可测函数列。如果逐点收敛于一个函数，并存在一个勒贝格可积的函数，使得对每个，任意，都有

，

则：

1. 也是勒贝格可积的，；

   

其中的函数一般取为正值函数。函数列的逐点收敛和的性质可以减弱为几乎处处成立。

勒贝格控制收敛定理是更广泛的法图-勒贝格定理（Fatou–Lebesgue theorem）的特例。以下是一个引用法图引理的证明。

由于 是逐点收敛的极限，因此对其仍然有

（于是）。

同理，对任意的 n有：

以及

根据法图引理，

因此，由勒贝格积分的线性性和单调性，就有

而后者趋于0，于是定理得证。

控制收敛定理能够成立的一个重要因素是存在一个可积的函数，使得函数列收敛的过程能够“安全”进行。如果缺少这个条件，调换运算次序就可能会导致各种后果。下面是一个例子：

定义函数 f_n 为：对于 (0,1/n] 中的 x ， f_n(x) = n 。对于(1/n,1]中的 x ，f_n(x) = 0 。对(0,1] 中的任意 x ，当 n 趋于无穷大时，f_n(x) 总趋于零，同时 f_n 在(0,1] 上的积分总是1。结果是：

控制收敛定理不成立。原因是不存在可积的控制函数：定义h= sup_n f_n 为：对(0,1] 中每一点 x ， 。那么在 (1/n+1,1/n] 上h(x)= n 。于是如果存在控制函数 g ，那么 ，但是

（当 时）

也就是说 g 不可积。

由此可见，可积的控制函数是定理成立的必需条件。