均值定理

均值定理：对于任意两个正实数a、b，都有

当且仅当a=b时，等号成立。
注：运用均值不等式求最值条件

①，；

②a和b的乘积ab是一个定值（正数）；

③等号成立条件。

相关重要不等式：

①；

②；

③。^[2]

一个矩形的长为a，宽为b，画两个正方形，要求第一个正方形的面积与矩形的面积相同，第二个正方形的周长与矩形的周长相同，如图1所示。第一个正方形的面积为ab，则其边长为；第二个正方形的周长为，边长为。可以看出第一个正方形面积不大于第二个正方形，即边长关系。^[3]

图1 均值定理几何含义

均值不等式

均值定理可进行推广，得到更为通用的均值不等式：。即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

其中：对于任意非负实数，有

，即调和平均数；

，即几何平均数；

，即为算术平均数；

，即为平方平均数。

（1）当时，求的最大值。^[2]

解：

当且仅当，即时，取最大值8。

（2）当时，求函数的最小值。

解：

当且仅当，即时，取最小值3。