三元齐次线性方程组是指常数项为零的三元线性方程组,实数域R上以x,y,z为元的三个方程所组成的三元齐次线性方程组的标准形式是
显然,定有解x=y=z=0,这是方程组的零解。当方程组的系数行列式D不为零时,它只有唯一的零解,当系数行列式D为零时,方程组除零解外,还有无数个非零解[2]。
例如,方程组
的系数行列式D=2≠0,方程组有唯一的零解。
又如,方程组
的系数行列式D=0,而
故可将方程 (1), (2) 写成
而解得
令z=t,则可得方程组的解为
(t可取任何实数)[2]。
齐次线性方程组(system of homogeneous linear equations)是指常数项全为零的线性方程组,即线性方程组
x1=0,x2=0,…,xn=0显然是它的一个解,称为零解,其他的解称为非零解,齐次线性方程组的两个解(解向量)的和,以及任意数与任意解(解向量)的乘积,仍为该齐次线性方程组的解(解向量)。齐次线性方程组任意一组解(解向量)的线性组合仍为该齐次线性方程组的解(解向量).因此,齐次线性方程组的全体解向量构成一个向量空间,称为齐次线性方程组的解空间.设AX=0是数域P上m个方程的n元齐次线性方程组,则方程组AX=0有非零解的充分必要条件是矩阵A的秩r(A)<n。当m=n时,齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于零。