小样本理论

小样本理论和方法的创立者是威廉.西利.戈塞特（William Sealy Gosset，1876-1937），他是英国统计学家，是现代统计方法及其应用于实验设计与分析的先驱。^[1]

小样本理论的系统形成，是19世纪初叶的事情。小样本分布在统计假设检验和区间估计等方面的应用，可以省人、省钱、省时间，因而，引起了工业、农业和科学研究等实际工作者的重视和欢迎；同时，也吸引更多的统计学家开拓这方面新的领域，这样便推动着小样本理论及其应用不断地向纵深发展。^[2]

当样本容量 n<50 的时侯，构造统计量一般不能借助于大样本理论。这时，统计量的分布为与正态分布不同的新分布，于是产生小样本分布的理论。^[2]

在小样本理论里，最常见的分布有：t 分布，分布和 F 分布。一般说来，从正态总体里，随机抽取容量为（n<50）的样本，构造变量，变量和 F 变量等统计量，研究这些统计量的概率分布和性质等，形成了小样本统计方法的系统理论。^[2]

小样本理论是样本理论的一个分支，样本分布与样本的数量 n 有关，小样本理论是讨论样本数 n 较小的样本分布问题。^[3]

小样本理论（small sample theory）亦称精确样本理论，统计量性质的一种刻画，它研究样本容量固定时，各种统计量的性质及由此进行的统计推断。精确样本理论最早的例子是由英国统计学家和化学家戈塞特(Gossett , W. S.)于1908年提出的 t 分布。

设独立同分布于标准正态分布，则的分布称为自由度为 n 的卡方分布，记作。^[4]

若随机变量，则，根据伽马分布的可加性有，由此可见分布是伽马分布的特例。

（1）分布的密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布，其具体表达式为：

（2）它的期望等于自由度，方差等于2倍自由度，即：

设随机变量，其中独立，则称的分布是自由度为 m 与 n 的 F 分布，记作，其中 m 称为分子自由度，n 称为分母自由度。

（1）F 分布的密度函数是一个只取非负值的偏态分布，表达式为：

（2）当随机变量时，对给定，称满足概率等式的是自由度为 m 与 n 的 F 分布分位数；

（3）由 F 分布的构造可知，若则有。^[4]

设随机变量独立，且，则称的分布为自由度为 n 的 t 分布，记为：。

（1）t 分布的密度函数的图像是一个关于纵轴对称的分布，与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布大一些；自由度为 n 的 t 分布密度函数的具体表达式为：

（2）自由度为1的 t 分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；

（3）n>1 时，t 分布的数学期望存在且为0；

（4）n>2 时，t 分布的方差存在，且为；

（5） 当自由度较大（如）时，t 分布可以用分布近似。^[4]