克利福德代数

克利福德代数是外代数的推广。设V是特征不为2的域K上的向量空间，Q是V上的一个二次型，T(V)是V上的张量代数。若I是T(V)中下列形式的元素生成的理想：

则商代数C(V，Q)=T(V)/I称为关于二次型Q的一个克利福德代数。当dim V=n时，dim C(V，Q)=2。当Q=0时，C(V，Q)即为V上的外代数。因此，克利福德代数是外代数的推广。实数域上的复数全体，四元数全体都构成克利福德代数。^[2]

克利福德代数是由二次型定义的一类代数。它对研究二次型、正交群和多复变函数有重要作用。域F上有限维向量空间V上二次型Q，它是V到F的一个映射：x→Q(x)，x∈V，满足：

1.Q(αx)=α²Q(x) (α∈F，x∈V).

2.B(x，y)=Q(x+y)-Q(x)-Q(y)，是双线性的，也是对称的.

若V为t个V的张量积：VV…V，V=F，则

T(V)=V

是V的张量代数。由一切元生成T(V)的一个理想K_Q，其商代数：

C(V，Q)=T(V)/K_Q

称为二次型Q的克利福德代数。其元素为u-=u+K_Q，u∈T(V)。由于T(V)是由V生成的，所以V到C(V，Q)的自然映射i：x→x-=x+K_Q，x∈V，使得i(V)就生成C(V，Q).事实上，若：

dim V=n，

且u₁，u₂，…，u_n为V的基，则u-_i1，u-_i2，…u-_ir(i₁<i₂<…<i_r， 1<r≤n)生成F上向量空间C(V，Q)。从而

dim C(V，Q)≤n².

特别地，若n=2且B(x，y)是非退化的，则C(V，Q)是四元数代数。克利福德代数具有泛性质：若f是V到一个代数A的线性映射，使得：

f(x)²=Q(x)1，　x∈V，

则存在C(V，Q)到A惟一的代数同态g使得如图交换。

外代数亦称格拉斯曼代数。各阶反变张量空间的并构成的代数。用Λ(V)记形式和：

则Λ(V)是维向量空间。设：

其中。ξ与η的外积是：

则Λ(V)关于外积成为一个代数，称为向量空间V的外代数或格拉斯曼代数。

向量空间Λ(V)的基底是{1，e_i，e_i1∧e_i2，…，e₁∧…∧e_n}(1≤i≤n，1≤i₁<i₂≤n).

同样，人们也有对偶空间V*的外代数：

的元素称为向量空间上的r次外形式，它是V上反对称r重线性函数。^[3]

英国数学家。生于埃克塞特(Exeter)，卒于马德拉(M-adeira)1860年在伦敦国王学院就学，三年后入剑桥三一学院。1867年荣获史密斯数学奖。第二年当选为该校应用数学教授。1874年成为皇家学会会员。克利福德在数学和物理学中的影响都很大。他将黎曼等人的非欧几何引入英国，并在有关四次方程、轨迹分类、黎曼曲面的拓扑结构等方面有独到见解，还创设了一种具有特殊性质的二阶曲面来研究曲面的几何结构，被称为“克利福德曲面”。这些成果对克莱因等人的工作有所帮助，也为相对论的建立提供了理论依据。在代数方面，克利福德继哈密顿的四元数之后，引入了新的超复数——八元数(biquaternion)，并推广为更一般的“克利福德代数”。

克利福德代数（Clifford algebra）的主要贡献者有：Hamilton（四元数），Grassmann（外代数），Clifford，Hestenes等等。

Hestenes是克利福德代数的发扬光大者，Hestenes的主要著作有：

《Space-time algebra》（克利福德代数被引入到狭义相对论中）。

《Clifford Algebra to Geometric Calculus》（克利福德代数结合了微积分，成为更强大的数学工具）

《New Foundations for Classical Mechanics》（经典物理学用克利福德代数重新书写）

还有一些将Clifford algebra应用于其他领域如广义相对论、量子力学、量子场论、射影几何、微分几何、共形几何等中的著作。^[4]