坡印廷定理

坡印廷定理是根据麦克斯韦方程组（包含法拉第电磁感应定律及改进的安培定律等）推导出来的。

首先考虑法拉第电磁感应定律（公式5），对其两边取B的点积得公式6；然后利用改进的安培定律（公式7），对其两边取与E的点积，得公式8。然后将等式（8）减去（6）并将恒等式（9）带入，得到等式（10）。由于坡印廷矢量S定义为公式（11），带入（10）化简就可以得到等式（4）。这就推导出了表征电磁能量守恒关系的坡印廷定理。

坡印廷定理的微分形式参见公式（1），式中 S是坡印廷矢量，表示能量的流动； J是电流密度；E是电场强度。真空中的能量密度u的表达式参见公式（2），式中ε0是真空电导率，μ0是真空磁导率。由于电场不做功，（1）式的右端便给出了电磁场每秒·立方米所做的总功的负值。

坡印廷定理的积分形式参见式（3）,dV是包围着体积V的曲面。

在工程领域，该定理通常写成将能量密度u展开的形式，参见公式（4），这与流体力学的连续性方程相似。

对于由闭合曲面A所限定的体积V，有：

这就是电源外区域的、积分形式的坡印廷定理。它的含义是：垂直穿过闭合面A进入体积V的功率，等于体积内电磁储能的增长率与由传导电流Jc引起的功率损耗之和。更一般的情况是：

式中Ec为电源中的局外场强，Jc为传导电流，σ为体积V内介质的电导率，ρ为运动电荷的电荷密度，v为该电荷的运动速度，E=J /σ-E 为总场强。整个方程的含义是：外源提供的功率等于体积v内电磁能量的增加率、传导电流的功率损耗、运动电荷作功耗损的功率、垂直穿过曲面A向外界输送的功率之总和。

这是就场中某一点而言的。

式中