里卡蒂方程

假如一阶微分方程 dy/dx=f(x,y)

的右端函数f(x,y)是一个关于y的二次多项式，则称此方程为二次方程；它可以写成以下形式：

dy/dx=p(x)y^2+q(x)y+r(x) <1>

其中函数p(x),q(x)和r(x)在区间I上连续，而且p(x)不恒为零。

方程<1>通常又叫做里卡蒂（Riccati,1676—1754)方程。这是形式上最简单的非线性方程。但是，一般而言，它已经不能用初等积分法求解。

定理 设已知里卡蒂方程<1>的一个特解y=ψ(x)，则可用积分法求得它的通解。

证明 对方程<1>作变换y=μ+ψ(x),其中μ是新的未知函数。代入方程<1>，得到

du/dx+dψ/dx=p(x)[μ^2+2ψ(x)μ+ψ^2(x)]+q(x)[μ+ψ(x)]+r(x),

由于y=ψ（x）是<1>的解，从上式消去相关的项以后，就有

dμ/dx=[2p(x)ψ(x)+q(x)]μ+p(x)μ^2,

这是一个伯努利方程。因此，由前面对方程<1>的讨论可知，此方程可用积分法求出通解。

里卡蒂方程y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x)（*）满足以下条件即可通过变量代换化为y'=p(x)+q(x)y+y^2（#）的形式，下面给出可以变换的条件：（满足条件A和B中任意一个即可<A,B两条件其实等价>）

(A)（*）式满足形式：y'=p(x)+q(x)y+k[q(x)-kp(x)]y^2，其中k为任意常数。

(B)原方程有常数解（复数域内的常数即可）。

代换后的方程（#）即可求解，方法如下：

进行变量代换：y=，代入即可化简为u''=p(x)u'+q(x)u，求出u(x)即可找到原方程的解。

变换方法，取y1=-a(x)y，代入原方程可将方程化为y1'=p(x)+q(x)y1+y1^2，其中p(x)=-a(x)b(x),

q(x)=b(x)-，再按照以上的方法解之即可。

解里卡蒂方程的中心思想是化非线性为线性，这种思想同样适应于对欧拉方程(Euler's equation)的解法上，里卡蒂方程的解决具有重大的意义。