受限玻尔兹曼机

标准的受限玻尔兹曼机由二值（布尔/伯努利）隐层和可见层单元组成。权重矩阵中的每个元素指定了隐层单元和可见层单元之间边的权重。此外对于每个可见层单元有偏置，对每个隐层单元有偏置。在这些定义下，一种受限玻尔兹曼机配置（即给定每个单元取值）的“能量”(v,h)被定义为

或者用矩阵的形式表示如下：

这一能量函数的形式与霍普菲尔德神经网络相似。在一般的玻尔兹曼机中，隐层和可见层之间的联合概率分布由能量函数给出：

其中，为配分函数，定义为在节点的所有可能取值下的和（亦即使得概率分布和为1的归一化常数）。类似地，可见层取值的边缘分布可通过对所有隐层配置求和得到：

由于RBM为一个二分图，层内没有边相连，因而隐层是否激活在给定可见层节点取值的情况下是条件独立的。类似地，可见层节点的激活状态在给定隐层取值的情况下也条件独立。亦即，对个可见层节点和个隐层节点，可见层的配置v对于隐层配置h的条件概率如下：

.

类似地，h对于v的条件概率为

.

其中，单个节点的激活概率为

和

其中代表逻辑函数。

与其他模型的关系

受限玻尔兹曼机是玻尔兹曼机和马尔科夫随机场的一种特例。这些概率图模型可以对应到因子分析。

受限玻尔兹曼机的训练目标是针对某一训练集，最大化概率的乘积。其中，被视为一矩阵，每个行向量作为一个可见单元向量：

或者，等价地，最大化的对数概率期望：

训练受限玻尔兹曼机，即最优化权重矩阵，最常用的算法是杰弗里·辛顿提出的对比分歧（contrastive divergence，CD）算法。这一算法最早被用于训练辛顿提出的“专家积”模型。这一算法在梯度下降的过程中使用吉布斯采样完成对权重的更新，与训练前馈神经网络中利用反向传播算法类似。

基本的针对一个样本的单步对比分歧（CD-1）步骤可被总结如下：

1. 1.取一个训练样本v，计算隐层节点的概率，在此基础上从这一概率分布中获取一个隐层节点激活向量的样本h；

   2.计算v和h的外积，称为“正梯度”；

   3.从h获取一个重构的可见层节点的激活向量样本v'，此后从v'再次获得一个隐层节点的激活向量样本h'；

   4.计算v'和h'的外积，称为“负梯度”；

   5.使用正梯度和负梯度的差以一定的学习率更新权重：。

偏置a和b也可以使用类似的方法更新。