卡姆定理

人们对 力学系统所关心的 问题之一，是 运动过程的长期 行为和它最终会达到的 状态。 动力系统的 长时间行为可能有多种形式： 平衡或 不动点、 周期振动、 准周期运动、 混沌，它们都是定 常态。 牛顿力学的确定论观点曾因解决 太阳系行星 运行问题的成功而在很长时期占统治地位。P. 拉普拉斯曾宣称，只要给定 初始条件就可以预言太阳系的整个 未来。但是，力学中的 三体问题和重 刚体绕固定点的运动问题成为困扰人们近一个世纪的难题。 数学家于19世纪认识到 n体问题属于不可积分的难题，只能寻求级数解。换言之，这类系统无法根据 初始条件求出描述系统未来确定性行为的精确解。随之，H. 庞加莱也清楚地认识到力学系统一般说来不可积分，可积分系统只是极少的特例，并指出 共振项可能影响 级数的 收敛性。对于不可积系统的 运动图像，卡姆定理回答了“弱”不可积系统的问题。假定这种系统的 哈密顿量可以分为两部分。其中 是可积的，因而只依赖于作用量 ； 是使 变得不可积的 扰动，自然含有 角度变量 。只要 参数 很小，导致不可积的附加项就很小。卡姆定理指出：在扰动（或者说 非线性）较小、 足够 光滑、离开共振条件一定 距离等三个条件下，对于绝大多数 初始条件，弱不可积系统的运动图像与 可积系统基本相同。由 正则方程描述的 个 自由度哈密顿系统，如果能找到 个彼此独立的运动积分，则成为 可积系统，并可通过 正则变换用作用–角变量( , ) 描述，且 哈密顿函数只与作用变量有关， = ( )，可积系统的解在2 维 相空间中分布在一个 维 环面上。如果系统受到微小 摄动， ( , )= ( )+ ( , )，则称为近可积系统，其中 是一小参数。KAM定理的数学表述比较复杂，大意是：在满足一定条件下（如摄动微小、可积系统的 远离共振、 光滑等）近可积系统绝大多数解是规则的，其 相轨迹被限制在一个由 个 运动不变量决定的 维环面上，该环面与可积系统的环面相比有微小的变形，但 拓扑结构不变，称为不变环面或KAM环面；确切些说， 相空间分成大小两组体积非零的区域。在大区域中仍然保持着与可积系统类似的环面结构；也有一些“随机”解（随机二字打上引号表示并非真正的随机，而是因为系统的性态随初值的敏感而呈现混乱，这仍然是 混沌现象的 决定性的表现），但被限制在KAM环面之间，成为“随机”层。因此，近可积系统与可积系统的解相差不多，这时确定性与“ 随机性”共存。随着摄动的加大，上述条件受到破坏，KAM定理不再适用。分隔相邻“随机”层的KAM环面将逐个破裂，“随机”层也相应变大，这时系统的所有可能解中大部分都是 混沌解 。初始条件如果落入小区域中，运动轨道就会相当不规则地迷走，运动轨道呈现不稳定性。这些小的不稳定区的 体积随着 趋于零而消失，但只要 不为零，它们的体积就是 有限的。这说明只有低阶（小于4阶）共振才有危险性，高阶共振不影响微扰级数的收敛性。低阶共振的 区域在相空间中是彼此隔开的，只有参数 足够大时，它们才会互相重叠，导致混沌运动。进一步的研究发现无论破坏任何一个卡姆条件，运动图像都会变得更为混沌。 轨道的不稳定性是力学系统运动中出现 随机性、不可预言性和混沌的 原因。

卡姆定理通过对弱不可积系统运动 稳定性条件的证明，说明了 三维以上 非线性系统的运动轨道出现 混沌现象具有 普遍性。以卡姆定理为代表的浑沌 理论揭示了 决定论和随机论之间、 牛顿力学和 统计力学之间没有不可逾越的界线，对于突破牛顿力学 决定论的思想框架具有重要意义，也丰富了 系统学的内容。