三垂线定理的逆定理

证明

如图，已知a⊥OP,a⊂α，PA⊥α於A。求证a⊥OA

几何证明

∵PA⊥α，a⊂α

∴PA⊥a

∵PO⊥a∴a⊥面OPA

∴a⊥OA

向量证明

设a的方向向量为a，取，，

∵PA⊥α，即是α的法向量，且a⊂α

∴⊥a，∴·a=0

∵⊥a，∴·a=0

·a=（-）·a=·a-·a=0

∴AO⊥a

三余弦定理证明

在a上另取一点Q，由三余弦定理得cos∠POQ=cos∠POA*cos∠AOQ

∵PO是斜线

∴cos∠POA≠0

∵PO⊥a

∴cos∠POQ=0

∴cos∠AOQ=0

∴AO⊥a