余数定理

学科数学

中文名余数定理

定理内容多项式f(x)除以x-a的余数是f(a)

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多项式f(x)除以(x-a)所得的余数等于f(a)。

推论：

证明

为了证明这个定理，我们用x-a去除多项式f(x)，得到商q(x)和余式r(x)。这个余式是次数低于除数x-a的多项式，即是零次的，因此r(x)=r是个常数。

于是f(x)=(x-a)q(x)+r

为了得到常数r，把x=a带入这个等式，得到f(a)=r余数定理证毕。

设是 n 个不同的数，而，对任意多项式用除所得的余式为

例：求的余数。

解：在这里，使除式为的，所以余数为。

例1：求的余式。

解：由于除式是2次多项式，所以设余式为（余式的次数要比除式低1）。

的解为或，代入恒等式的两边得：

解得。

故余式为

例2：求的余式。

解：除式的次数为3，所以设余式为。由于的解为或，代入恒等式得：

出现等式个数少于待定系数的个数时需要把恒等式两边对x求导，再把解代入求导后的等式中。

对左右两边求导得

再把代入，得到第三个等式：

解方程组得

所以余式为

解：易知当时，原式。当时亦有原式

∴将多项式展开后应含有因式

设原式，则展开后比较系数可得：

∴原式

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