取整函数

对于下取整函数，有如下性质。

按定义：

当且仅当x为整数时取等号。

设x和n为正实数，则：

下取整函数为等幂运算：.

对任意的整数k和任意实数x，

一般的数值修约规则可以表述为将x映射到floor(x + 0.5)；

下取整函数不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，下取整函数导数为零。

设x为一个实数，n为整数，则由定义，n ≤ x当且仅当n ≤ floor(x)。

用下取整函数可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值。

对于非整数的x，下取整函数有如下的富裡葉展开：

对于互素的正整数m和n，有：

根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过下取整函数制造出一个整数集的分划。

最后，对于每个正整数k，其在 p 进制下的表示有 个数字。

对于上取整函数：

显然有：

以及：

对于整数k有：

.

设x为一个实数，n为整数，则

对于两个相反数的下取整函数，有：

如果x为整数，则

否则