一元三次方程

一元三次方程(6)卡尔丹公式法的特殊情况

一元三次方程都可化为x³+px+q=0。它的解是：

其中。

根与系数的关系为。

判别式为。当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。

三个根的三角函数表达式（仅当时）为

其中。

卡丹公式法的一般情况

一般的一元三次方程可写成的形式。上式除以，并设，则可化为如下形式：

，其中，。

标准型方程中卡尔丹公式的一个实根可用特殊情况的公式解出，则原方程的三个根为

。

三个根与系数的关系为

。

盛金公式法

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。

1.盛金公式

一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a,b,c,d∈R，且a≠0）

重根判别式

总判别式Δ=B2－4AC。

当A=B=0时，

盛金公式1：

当Δ=B2－4AC>0时，

盛金公式2：

盛金公式2的三角式：

其中，。

当Δ=B2－4AC=0时，

盛金公式3：

其中。

当Δ=B2－4AC<0时，

盛金公式4：

其中，（A>0，－1<T<1）。

2.盛金判别法

当A=B=0时，方程有一个三重实根。

当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

3.盛金定理

当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T<－1或T>1时，盛金公式4无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。

盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。

盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式4解题）。

盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE,Hainan Province,China. Vol. 2,No. 2；Dec，1989），A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91—98 .

通用求根公式

当一元三次方程的系数是复数时，直接使用卡丹公式求解，有时会出现问题。此时，可使用下面的公式：

当时

当时

当时

当时

另一种解法：

先把一般的一元三次方程化为特殊的一元三次方程，令

由一元三次方程的 韦达定理可得：带入可得且，令,（其中,p与t均为未知数）为一元三次方程的两根。,,则,. 把带入可得.求出p,t再求出与即可。此法的优点是求出的x不会出现有增根的情况，缺点但是会有重根。

通用求根公式（VC++）

验算代码（VC++）