伽罗瓦理论

伽罗瓦理论的诞生最初是由于如下的现在称之为阿贝尔-鲁菲尼定理的问题：

伽罗瓦理论不仅对于这个问题提供了一个漂亮的解答，而且详细的解释了为什么四次及更低次方程有代数解，以及它们的代数解为什么是那样的形式。

伽罗瓦理论还给出了一些有关尺规作图的问题的清晰洞察。它给出了所有可以尺规作图的长度比的一个优雅的描述。这样，一些经典几何问题的解答变得相对容易：

如果我们给定一个多项式，它的一些根可能是被不同的代数方程联系起来的。例如，有两个根A和B，它们满足方程A² + 5B³ = 7。伽罗瓦理论的核心思想是考虑具有以下性质的根的置换：这些根所满足的任何代数方程，在置换之后也依然成立。一个重要的限制条件是我们要把代数方程的系数限定为有理数。（其实也可以把系数限定在其他的一个给定的域，但是为了简单起见，我们限制在有理数域。）

这些置换形成了一个置换群，也称为这个多项式（在实数域上）的伽罗瓦群。这可以很清晰的举例说明。

考虑如下的一元二次方程：

应用一元二次方程的求根公式，我们可以求出它的两个根为

A和B满足的代数方程例如：

显然在这些方程中，如果我们交换A和B，我们同样能得到真命题。例如，方程A + B = 4简单的变成了B + A = 4。进一步的，这对于A和B满足的所有可能的代数方程都成立。证明这个结论需要对称多项式的理论。

我们可以总结出，多项式x² − 4x + 1的伽罗瓦群由两个置换构成：保持A和B不变的恒同变换，以及交换A与B位置的对换。它是一个二阶循环群，因此同构于Z/2Z。

这里会有人产生疑问：A和B同样满足另一个代数方程，但交换A和B时这个方程并不能保持不变。其实这并不是个问题，因为它不是有理系数方程：是一个无理数。

类似地可以讨论任意二次多项式ax² + bx + c,其中a, b和c都是有理数。

如果多项式只有一个根，例如x² − 4x + 4 =(x−2)²,那么伽罗瓦群是平凡的；也就是说，它只包括恒同变换。

如果多项式有两个不同的有理根，例如x² − 3x + 2 =(x−2)(x−1)，伽罗瓦群同样是平凡的。

如果多项式有两个无理根（包括根是复数的情况），那么伽罗瓦群包括上面例子中所描述的两个置换。

考虑多项式

也可以写成

我们同样希望在有理数域上描述这个多项式的伽罗瓦群。这个多项式有四个根：

这四个根有24种可能的排列，但这些排列并不都是伽罗瓦群的元素。伽罗瓦群的元素必须保持所有A, B, C和D满足的有理系数代数方程。这样的方程例如：

A + D = 0.

因此置换

(A, B, C, D)→(A, B, D, C)

是不允许的，因为它把真等式A + D = 0变成了假等式A + C = 0，因为A + C = 2√3 ≠ 0.

这些根满足的另一个等式为：

(A + B)² = 8.

这也会去掉一些置换，例如：

(A, B, C, D)→(A, C, B, D)。

如此继续下去，我们可以求出满足所有等式的置换只有：

(A, B, C, D)→(A, B, C, D)

(A, B, C, D)→(C, D, A, B)

(A, B, C, D)→(B, A, D, C)

(A, B, C, D)→(D, C, B, A),

因此伽罗瓦群同构于克莱因四元群。