等比中项

等比中项(3)一般地，如果一个数列的首项不为0，且从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q不等于0）。如数列2，4，8，16就为等比数列。

等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。

在等比数列a项和b项中，插入一个数G使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项。

若a和b的等比中项为c，则c的平方等于a和b的乘积。

若a，b，c成等比数列，则有

由，可知成立。

还可由，得。

此结论说明，在等比数列中，从第二项起，每一项（有限数列末项除外）都是它前后两项的等比中项。

同样可证得成立。

此结论说明，在等比数列中，任取数列中的某项都是与它前后等距离的两项的等比中项（保证前后两项都存在）。

同号的两个数才有等比中项；等比中项有两个，且互为相反数。

在等比数列中，若2m=p+k,m与p,k∈N*，则，.可以理解为，am是ap与ak的等比中项。

在解决一些数学问题时，如果发现其中存在特征，我们不妨联想到等比中项的知识，巧设公比，利用q的桥梁作用解题，不仅思路新颖而且过程简捷，从而为问题的解决提供了一种新的方法。^[1]

（1）等比数列4，9求该数列等比中项

解：设给数列等比数列为C 则

C/4=9/C

C2=36

C=±6

（2）在三角函数的应用：

已知，且a为第三象限角，求。

因为，所以。

设，。

所以，

又位于第三象限，所以，。^[2]

（3）在解方程的应用

已知x，y，z属于正实数集，且，

求证：

由知，，所以等比数列。

设，

得

所以。