矩阵行列式

一个n×n的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|，一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

把一个n阶行列式中的元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij。记Aij=(-1)i+jMij，叫做元素aij的代数余子式。例如：

一个n×n矩阵的行列式等于其任意行(或列)的元素与对应的代数余子式乘积之和，即^[1]:

定理1设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)^[2]。

证对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：

det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1)，

由于Mij均为k×k矩阵，由归纳假设有

此式右端恰是det(AT)按照AT的第一列的余子式展开。因此

定理2设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

定理3令A为n×n矩阵。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。

(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。

这些结论容易利用余子式展开加以证明^[2]。