拉格朗日中值定理

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

那么在开区间(a,b)内至少有一点使等式成立。

记,令,则有

上式称为有限增量公式。^[3]

我们知道函数的微分是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。

辅助函数法：

已知在上连续，在开区间内可导，

构造辅助函数

可得g(a)=g(b)又因为在上连续，在开区间内可导，

所以根据罗尔定理可得必有一点使得

由此可得

变形得

定理证毕。

如果函数在区间上的导数恒为零，那么函数在区间上是一个常数。

在区间上任取两点由拉格朗日中值定理得

由于已知即

因为是区间上的任意两点，所以在区间上的函数值总是相等的，

即函数在区间上是一个常数。

如果函数在开区间内可导且与都存在

令，

则在开区间内至少存在一点使得

拉格朗日中值定理有一个变形，即所谓的有限增量公式：f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0+θΔx)Δx，0<θ<1。其中的有一个很重要的性质：

若在点连续，且，则

证明由于f''(x)在点连续，所以有

（1）；

（2）。

将（1）和（2）同时代入有限增量公式，可得，，利用f"(x)在x0点处的连续性及f"(x0)≠0，在等式两边同取极限（令），即可得结论。

证明导函数连续定理：

若函数f(x)在x0的某邻域内连续，在内可导，且存在，则f(x)在x0处可导，并且有。

解析：该定理给出了导函数连续的一个充分条件。（注意：必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。）我们知道，函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。

证明：由导数的定义可知，函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右导数相等，因此分别来研究左右导数。

右导数：任取，显然在区间上满足定理使用条件。

∴

当时，有，对上式两边取极限，得：

即：

上式左边是在处的右导数，右边是导函数在处的右极限。

同理，有

上式左边是在处的左导数，右边是导函数在处的左极限。

∵存在

∴

∴

∴f(x)在x0处可导，并且

由该定理立即可得出一个推论：如果函数在某个区间上可导，那么导函数在该区间上不存在第一类间断点。换句话说，如果一个函数在某个区间上存在第一类间断点，那么它在该区间上没有原函数。

人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，古希腊数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积.。

意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。该定理是拉格朗日中值定理在几何学中的表达形式。

1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出了拉格朗日定理，他给出的定理的最初形式是：“函数在与之间连续，在与之间有最小值与最大值，则必取与之间的一个值。”拉格朗日给出最初的证明，但证明并不严格，他给的条件比现在的条件要强，他要求函数在闭区间上具有连续导数，并且他所用的连续也是直观的，而不是抽象的。

十九世纪初，在微积分严格化运动中，柯西给出了拉格朗日中值定理的严格证明，在《无穷小计算教程概论》中，柯西证明了”如果导数在闭区间上连续，则必存在一点，使得。 ”柯西又在《微分计算教程》中将拉格朗日中值定理推广为柯西中值定理。

现代形式的拉格朗日中值定理是由法国数学家博（O.Bonnet）给出的，他不是利用导数的连续性，而是利用罗尔定理对拉格朗日中值定理进行了重新证明。

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。

若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。^[4]

法国数学家。1754年开始研究数学，1766年接替了欧拉在柏林皇家科学院的职位，在那里工作达20年。1786年去法国，先后担任巴黎高等师范学校和多科工艺学校教授。他是18世纪仅次于欧拉的大数学家，工作涉及数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法、力学、天文学等许多领域。在数学上，他最早的重要贡献是1859年解决了等周问题，从而开创了变分问题分析形式的一般解法。1766～1787年是他科学研究的多产时期，1766～1773年，他在数论方面做了一系列研究，1766年证明了所谓佩尔(Pell)方程(x-Ay=1)的解的存在性，1770年证明费马的著名命题，每个正整数可表为至多4个平方数之和；1771年证明了著名的所谓威尔逊 (Wilson) 定理; 1773年关于整数的型表示问题获得关键性成果。1767～1777年，他又系统地研究了代数方程论，引入对称多项式理论，置换理论及预解式概念，指出根的排列理论是整个问题的真谛，对后来伽罗华的工作产生了重要影响。在这期间，他还在微积分、微分方程、力学、天文学领域广泛开展研究，导致了他的两部不朽巨著 《分析力学》 (1788)、《微分原理中的解析函数论》(1797)。著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日余项、拉格朗日方程，对黎卡提方程的重要研究，对线性微分方程组的研究，对奇解与通解的联系的系统研究，都是这一时期的工作。他也是最先试图为微积分提供严格基础的数学家之一，这使他成为实变函数论的先驱。他还以在数学上追求简明与严格而被誉为第1个真正的分析学家。拿破仑曾评价说：“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。”