余弦定理

三角形对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A（），B（），C（），则如下图所示，在△ABC中，

余弦定理表达式1

同理，也可描述为：

勾股定理是余弦定理的特例，当为90°时，，余弦定理可简化为，即勾股定理。

余弦定理表达式2

余弦定理表达式3（角元形式）

余弦定理的历史可追溯至西元三世纪前欧几里得的几何原本，在书中将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。

和《几何原本》上勾股定理的证明类似。

余弦定理

勾股定理可以推广到余弦定理。余弦定理和勾股定理一样，都有着很多不同的证明。下图就是余弦定理的一个无字证明。

平面几何法证明

如上图所示，△ABC，在c上做高，将c边写：

将等式同乘以c得到：

如下图所示：以AB边为边长，以垂直于面ABC作向里的正方形AA`BB`辅助线，然后作平行于AA`边的CC`等，则，上述公式相当于辅助正方形的面积等于长方形AA`C`C和BB`C`C在正方形AA`BB`中的投影面积（分别为与）之和。

立体几何辅助说明

对另外两边分别作高，运用同样的方法可以得到：

将两式相加：

如图所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC于D，则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB

在Rt△ACD中，

b²=AD²+DC²=（c*sinB）²+（a-c*cosB）²

=c²sin²B+a²-2ac*cosB+c²cos²B

=c²（sin²B+cos²B）+a²-2ac*cosB

=c²+a²-2ac*cosB

平面几何法证明二

在△ABC中，

sin²A+sin²B-sin²C

=[1-cos（2A）]/2+[1-cos（2B）]/2-[1-cos（2C）]/2（降幂公式）

=-[cos（2A）+cos（2B）]/2+1/2+1/2-1/2+[cos（2C）]/2

=-cos（A+B）cos（A-B）+[1+cos（2C）]/2（和差化积）

=-cos（A+B）cos（A-B）+cos²C（降幂公式）

=cosC*cos（A-B）-cosC*cos（A+B）（∠A+∠B=180°-∠C以及诱导公式）

=cosC[cos（A-B）- cos（A+B）]

=2cosC*sinA*cinB（和差化积）（由此证明余弦定理角元形式）

设△ABC的外接圆半径为R

∴（RsinA）²+（RsinB）²-（RsinC）²=（RsinA）*（RsinB）*cosC

∴a²+b²-c²=2ab*cosC（正弦定理）

∴c²=a²+b²-2ab*cosC

∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

∴c·c=（a+b）·（a+b）

∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|cos（π-θ）

（以上粗体字符表示向量）

又∵cos（π-θ）=-cosθ（诱导公式）

∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ

此即c²=a²+b²-2abcosC

即cosC=（a2+b2-c2）/2*a*b

同理可证其他，而下面的cosC=（c2-b2-a2）/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

平面向量证法

余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下三种需求：

• 当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
• 当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。^[1]
• 当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。^[1]

余弦定理公式可变换为以下形式：

因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。^[1]

因为余弦函数在上的单调性，可以得到：

因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。^[1]

由面积公式

知如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理求出一个内角，从而得到三角形的面积。

若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取

减号的值。

①若m（c1,c2）=2,则有两解；

②若m（c1,c2）=1,则有一解；

③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

一、当a>bsinA时：

①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；

②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解（即无解）；

③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；

④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解（即无解）；

⑤当b<a时，则有一解。

二、当a=bsinA时：

①当cosA>0（即A为锐角）时,则有一解；

②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）。

三、当a<bsinA时,则有零解（即无解）。^[2]

已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。

解：设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。

由余弦定理：

cosA=0

所以∠A=90°。

△ABC中,AB=2，AC=3，角A为60度，求BC之长。

解：由余弦定理可知：

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=7

所以（cos60°=½）

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。