偏序集合

（英语：Partially ordered set，简写 poset）在数学中，特别是序理论中，是指配备了偏序关系的集合。这个关系形式化了排序、顺序或排列这个集合的元素的直觉概念。这种排序不必然需要是全部的，就是说不需要但也可以保证在这个集合内的所有对象的相互可比较性。(在数学用法中，全序是一种偏序)。偏序集合定义了偏序拓扑。　

设R是非空集合A上的一个二元关系，若R满足： 自反性、反对称性、传递性，则称R为A上的偏序关系。以下为定义：　

给定集合S，“≤”是S上的二元关系，若“≤”满足：

自反性：∀a∈S，有a≤a；

反对称性：∀a，b∈S，a≤b且b≤a，则a=b；

传递性：∀a，b，c∈S，a≤b且b≤c，则a≤c；

则称“≤”是S上的非严格偏序或自反偏序。

给定集合S，“<”是S上的二元关系，若“<”满足：

反自反性：∀a∈S，有a≮a；

非对称性：∀a，b∈S，a<b ⇒ b≮a；

传递性：∀a，b，c∈S，a<b且b<c，则a<c；

则称“<”是S上的严格偏序或反自反偏序。

严格偏序与有向无环图(dag)有直接的对应关系。一个集合上的严格偏序的关系图就是一个有向无环图。其传递闭包是它自己。

下面是一些主要的例子[1]:

自然数的集合配备了它的自然次序(小于等于关系)。这个偏序是全序。

整数的集合配备了它的自然次序。这个偏序是全序。

自然数的集合的有限子集 {1, 2, ..., n}。这个偏序是全序。

自然数的集合配备了整除关系。

给定集合的子集的集合(它的幂集)按包含排序。

向量空间的子空间的集合按包含来排序。

一般的说偏序集合的两个元素 x 和 y 可以处于四个相互排斥的关联中任何一个: 要么 x < y，要么 x = y，要么 x > y，要么 x 和 y 是“不可比较”的(三个都不是)。全序集合是用规则排除第四种可能的集合: 所有元素对都是可比较的，并且声称三分法成立。自然数、整数、有理数和实数都关于它们代数(有符号)大小是全序的，而复数不是。这不是说复数不能全序排序；比如我们可以按词典次序排序它们，通过 x+iy < u+iv 当且仅当 x < u 或 (x = u 且 y < v)，但是这种排序没有合理的大小意义因为它使得 1 大于 100i。按绝对大小排序它们产生在其中所有对都是可比较的预序，但这不是偏序因为 1 和 i 有相同的绝对大小但却不相等，违反了反对称性。

对于一个偏序集，其最少链划分数等于其最长反链的长度。

otion type [1] or motion pattern [2] is one of the major kinematics specifications in kinematics design of parallel mechanisms. As shown in Figure 1, given the body frame E of the end-effector of a mechanism, and the reference frame E, we define motion type as the set of all rigid motions of E with respect to R , denoted M. For parallel mechanisms, M equals the intersection set of all its subchain motion types Mi: M = ∩ in= 1 Mi, M is a subset of the group of rigid transformation SE (3)(known as the special Euclidean group): (3) : (4,R) (3), R 3,0 0SE = ????? ??? Rρ???∈ GL R ∈ SO p∈?????csb.scichina.com www.springerlink.com denoted M ? SE(3). When the parallel mechanism in dis-cussion has finite constant mobility, M bears differential structure of a regular submanifold of SE (3)(for... 

Z-连续偏序集作为连续格一个推广已被Wright Wagner和Thatcher等介绍。Z-连续偏序集和广义Z-连续偏序集是连续格的一个成功推广，在近二十多年来被多人研究过。Z-连续偏序集的代数性质已被研究过，见文【6】，【7】，【8】，【9】。但是它的拓扑性质却很少被研究。本文将讨论Z-连续偏序集和广义Z-连续偏序集的一些拓扑性质以及给出Z-完备偏序集和Z-连续函数的一些范畴性质。第一章：文【6】中作者介绍了一种Z-子集系统。本部分介绍Z-连续偏序集的一些定义以及一些拓扑定义。第二章：介绍Z-连续函数和Z-极小集，主要证明了：若函数f和它的逆都是Z-连续函数，则函数f保Z-极小集。同时证明了函数f是Z-连续的充要条件为f关于Z-Scott拓扑连续。第三章：主要讨论广义Z-连续偏序集及其拓扑性质。文【2】中证明了若P为强的Z-广义连续偏序集，则它的Z-Lawson拓扑是hausdorff的，但本文证明了若P为强的Z-广义交连续偏序集，则它的Z-Lawson拓扑是正则的。第四章：讨论了Z-完备偏序集和Z-连续函数的一些范畴性质。 

产生于上世纪70年代初期的论域理论是理论计算机科学的一个重要领域,旨在为计算机函数式语言的研究奠定数学基础.序和拓扑的相互结合、相互作用是这一理论的基本特征.正是这一特征使得论域理论成为理论计算机科学与拓扑学研究者共同感兴趣的领域；也使这一理论与许多数学学科产生了密切的联系.论域理论一经形成,就引起了人们广泛的兴趣.它处于数学、逻辑和理论计算机科学等学科的交汇处,是比较活跃的研究领域.本文将对论域理论,特别是Z-连续偏序集理论作进一步的探讨.首先,总结了论域和Z-连续偏序集的相关概念和性质,并加以补充.主要是讨论了Z-并理想格的性质,以及子集系统意义下的Z-代数交结构和Z-代数闭包算子的性质和联系.一个Z-代数闭包算子可以生成一个带顶元的Z-代数交结构.反之,一个Z-代数交结构也可以生成一个Z-代数闭包算子.进一步,每个带顶元的Z-代数交结构都是Z-代数格,且每个Z-代数格都同构于带顶元的Z-代数交结构.此外,在连续格中引入拟紧元、