- 极化恒等式
极化恒等式
定义
当
是内积空间，
是由内积所导出的范数时，内积也可以用范数来表达。当
是实内积空间时
当
是复内积空间时
这两个等式可以直接从内积的定义导出。等式(1)和(2)称为极化恒等式[2]。
相关定理
Aldaz(2009)给出了如下有意义的结果[2]。
定理1
设
是复内积空间，对任意非零向量
，有
特别地，当
是实内积空间时，
证明：由极化恒等式(2)得到
以
分别代替
和
，并展开右端第一项即可得到式(3)和式(4)，式(5)的证明是类似的。证毕。
在定理1条件下，成立恒等关系
定理2
设
是复内积空间，对任意非零向量
，有
证明：不妨假设
是单位向量，由式(3)知，
等号成立当且仅当存在
使得
，证毕[2]。
由式(6)容易得到GBS不等式。
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