微分算子

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：

，这里关于哪个变量微分是清楚的，以及

，这里指明了变量。

一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：

记号D的发明与使用归于奥利弗·亥维赛，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为

另一个微分算子是Θ算子，定义为

有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于z的单项式：

在n个变量中齐次算子由

给出。与单变量一样，Θ的本征空间是齐次多项式空间。

给定一个线性微分算子T

，

这个算子的伴随定义为算子使得

这里记号表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。

在平方可积函数空间中，数量积定义为

如果另外增添要求f或g当与等于零，我们也可定义T的伴随为

此公式不明显地取决于数量积的定义，故有时作为伴随算子的一个定义。当用这个公式定义时，它称为T的形式伴随。

一个（形式）自伴算子是与它的（形式）伴随相等的算子。

如果Ω是Rn中一个区域，而P是Ω上一个微分算子，则P在L2(Ω)中的伴随由对偶性以类似的方式定义：

对所有光滑L2函数f与g。因为光滑函数在L2中是稠密的，这在L2的一个稠密子集上定义了伴随：: P*是一个稠定算子。

施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子L可以写成如下形式

这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

这个算子在施图姆-刘维尔理论（Sturm–Liouville theory）中的关键，其中考虑了这个算子本征函数（类比于本征向量）。

微分是线性的，即

这里f和g是函数，而a是一个常数。

任何以函数为系数之D的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

复合微分算子。需要一些注意：首先算子D2中的任何函数系数必须具有D1所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环，我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二，这个环不是交换的：一个算子gD一般与Dg不同。事实上我们有例，如在量子力学中的基本关系：

但这些算子的子环：D的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理（shift theorem）。

同样的构造可对偏导数也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子。

在微分几何与代数几何中，通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设与是流形上两个向量丛。截面的一个-线性映射称为一个k-阶微分算子，如果它分解穿过节丛。换句话说，存在一个向量丛的线性映射

使得

这里表示由，在截面上诱导的映射，而，是典范（或通用）k-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面 of ，在一个点的值完全由在的k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着由在的芽决定，这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理（Peetre theorem）证明了逆命题也是正确的：任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的，但纯代数的描述如下：一个-线性映射是一个k-阶微分算子，如果对任何(k + 1)阶光滑函数我们有

这里括号定义为交换子

线性算子的这个刻画说明，它们是一个交换代数上的模之间的一个特殊映射，使这个概念可视为交换代数的一部分。

在物理科学的应用中，像拉普拉斯算子在建立与求解偏微分方程中起着主要的作用。

在微分拓扑中，外导数与李导数算子有内蕴意义。

在抽象代数中，导子的概念是微分算子不要求分析的一个推广。通常这样的推广用于代数几何与交换代数。另见节。