三面角余弦定理

在OA上取一点D，过D作OD的垂线DE、DF分别交OB、OC于E与F。接着使用向量证明。

考虑有向线段OD、OE、OF、DE、DF。易知：

cos∠OA=DE·DF/(DE*DF)

sin∠AOB=DE/OE

sin∠AOC=DF/OF

cos∠AOB=OD/OE

cos∠AOC=OD/OF

cos∠BOC=OE·OF/(OE*OF)；

则实际是要证明：

DE·DF/(DE*DF)*DE/OE*DF/OF+OD/OE*OD/OF=OE·OF/(OE*OF)

整理得(DE·DF+OD²)/(OE*OF)=OE·OF/(OE*OF)

即是要证明OD²+DE·DF=OE·OF；

显然，OE·OF=(OD+DE)·(OD+DF)=OD²+OD·DE+OD·DF+DE·DF，

注意到OD·DE=OD·DF=0，即可证明原式。

将三面角O-ABC放入单位球中，并设三面角与球面的交点分别为A、B、C。过A作球面的切平面，射线OB、OC与切平面交点为B'、C‘。则：

∠OA=∠B'AC'=A，AB'=tan∠AOB=tanc，AC'=tan∠AOC=tanb，OB'=1/cos∠AOB=1/cosc，OC'=1/cos∠AOC=1/cosb

在△AB'C'中，由余弦定理得

B'C'²=tan²c+tan²b-2tanc*tanb*cosA

在△OB'C'中，由余弦定理得

B'C'²=1/cos²c+1/cosb-2cos∠BOC/(cosc*cosb)

∴sin²c/cos²c+sin²b/cos²b-2sinc*sinb*cosA/(cosc*cosb)

=1/cos²c+1/cos²b-2cos∠BOC/(cosc*cosb)

两边乘以cos²c*cos²b得

sin²c*cos²b+sin²b*cos²c-2sinc*cosc*sinb*cosb*cosA

=cos²b+cos²c-2cosb*cosc*cos∠BOC

移项，整理得

cos²b(1-sin²c)+cos²c(1-sin²b)-2cosb*cosc*cos∠BOC=-2sinc*cosc*sinb*cosb*cosA

化简得cos∠BOC=cosb*cosc+sinb*sinc*cosA

也就是cos∠BOC=cos∠AOBcos∠AOC+sin∠AOBsin∠AOCcos∠OA

在三面角O-ABC中，设二面角B-OA-C为∠OA，则有：

将三面角O-ABC的顶点与单位球的球心重合，并设三边与球面分别交于A、B、C。根据球面三角形的定义，在球面△ABC中，∠AOB=c，∠BOC=a，∠AOC=b；∠OA=A，∠OB=B，∠OC=C。则余弦定理的第一形式可化为：

余弦定理的第二形式可化为：

由于球面三角形与其极对称三角形之间存在定量的边角关系，因此不妨设球面△ABC的极对称三角形为△A'B'C'，则在△A'B'C'中，由余弦定理的第一形式得

∵a'=π-A，b'=π-B，c'=π-C，A'=π-a

∴上式可化为

即

证明完毕

三面角余弦定理的全向量证明