五边形数

五边形数是能排成五边形的多边形数。其概念类似三角形数及平方数，不过五边形数和三角形数及平方数不同，所对应的形状没有旋转对称（Rotational symmetry）的特性。

第 n个五边形数可用以下公式求得

且n>0。

首几个五边形数为1,5,12,22,35,51,70,92,117... (OEIS:A000326)，其奇偶排列是“奇奇偶偶”。

第n个五边形数是第3n-1个三角形数的。首n个五边形数的算术平均数是第n个三角形数。

利用以下的公式可以测试一个正整数x是否是五边形数（此处不考虑广义五边形数）：

若n是自然数，则x是五边形数，而且恰为第n个五边形数。

若n不是自然数，则x不是五边形数。

依照费马多边形数定理，任何整数都可以表示为不超过5个五边形数的和。但大多数的整数都可以表示不超过3个五边形数的和。在小于10⁶的整数中，只有以下6个整数需用5个五边形数的和来表示：^[1]

9, 21, 31, 43, 55, 89 (OEIS:A133929)

而以下210个整数需用4个五边形数的和来表示：

4, 8, 9, 16, 19, 20, ..., 20250, 33066 (OEIS:A003679)

广义五边形数的公式和五边形数相同，只是n可以为负数和零，n 依序为0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...，广义五边形数也可以用下式表示：

n 依序为0, 1, 2, 3, 4...，其产生的数列如下：

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)

在欧拉的整数分拆理论中，五边形数定理说明广义五边形数和整数分拆的关系。^[2]

用第n个五边形数（n>2）排列组成的正五边形，外围点的个数有5(n-1)个，因此在内部的点个数为：

刚好也是一个广义五边形数。所有的整数都可以表示成不超过3个广义五边形数的和。若三角形数可以被3整除，则除以3之后的数必为广义五边形数。

第n个五边形数可用公式n(3n-1)/2求得，且。

设第n个五边形数为，那么，即序列为：1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, ...

对应图形如下：

图1.五边形数

设五边形数的生成函数为，那么有：

以上是五边形数的情况。下面是关于五边形数定理的内容：

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性。欧拉函数的展开式如下：

即：

可见，欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

五边形数和分割函数的关系：

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：，其中为的分割函数。上式配合五边形数定理，有：

在时，等式右侧的系数均为0。因此可得到分割函数的递归式：

所以，通过上面递归式，我们可以很快速地计算的整数划分方案数了。