大基数公理

大基数公理(large cardinal axioms)关于大基数存在的一类新加公理.设有关于基数a的一条性质P(a)，它是可以用ZFC系统的语言形式描述的，尽管人们根据直觉相信，有很大的a使P(a)为真，但却不能在ZFC系统内证明“}aP(a)”这一命题.人们若将}aP(a)作为公理加入到ZFC系统之中，就称之为一条大基数公理，满足P(a)的a称为大基数.大基数的种类很多一般地，P(a)都是。(其基数为丛o)的某个性质向不可数基数的推广，因而，可以说大基数公理是无穷公理的自然延伸，是人类对无穷世界的认识进一步深化的产物.例如，不可达基数是将。的“集论运算的不可到达性”推广到不可数基数而得到的大基数.弱紧基数则是将。所满足的分划关系。~(。);推广至不可数基数而得到的.从这个角度看，大基数公理为人们所乐于接受. 增加了大基数公理之后，人们可以对集合论中某些悬而未决的问题做出一定程度的回答.例如，若存在强不可达基数K，则ZFC相容;若存在拉姆齐基数，则V; 1.，即可构造公理不真;若存在强紧基数K，则 V}1.[X]对任何集合X成立，又对于任何大于K的奇异强极限基数}}2x=}+，这对广义连续统假设做出了部分回答.

大基数的研究由来已久.例如，早在1911年，就开始了对今天称为马赫罗(Mahlo , P.)基数的一类基数的研究;193。年后，就提出了不可达基数和可测基数的概念.但在20世纪60年代之前，这种研究是零星的、分散的.直到20世纪60年代，人们才将大基数公理作为集合论的附加公理来加以研究.近年来，含大基数的内模型成为集合论研究的热点.人们更习惯于用从全域V到某传递类M的非平凡的基本嵌人(elementary embedding) j:V->M来描述大基数公理.设K为J的临界点，即最小的满足j(a) =a的序数，记为、=crit勺).此时，V和M越相似，所引入的大基数公理越强.例如，如果MzCM，则称 K为几超紧基数;如果对任意为})K,K为几超紧基数，则称k为超紧基数;如果V; }k, c M，则称k为超强基数;如果对于任意的I : K--} K，存在了:V->M‘使得crit(j)=k且VicW >c}yM}，其中M‘是传递的，则称K为谢拉赫基数;如果对于任意的I : K-' K，存在8 }K，使得I在占中封闭且存在j' : V --> M‘满足 crit(j' )=8且V <}<f} <K} CM，其中M‘是传递的，则称 K为邹丁基数.如果VxCM，则称K为几强基数.几超紧基数是以色列学者索洛韦(CSolovay,R. M.)引人的.几强基数和超强基数这两个概念是从米雪尔 (Mitchell, W.)的工作中提取出的.谢拉赫基数是分别根据他们发现的大基数性质而命名的.可以证明:

1.若K是

2‘超紧基数，则存在K个小于k的超强基数. 2.若K是超强基数，则K是谢拉赫基数并且存在K个小于K的谢拉赫基数.

3.若、是谢拉赫基数，则、是邹丁基数并且存在K个小于K的乌体丁基数.

4.若K是邹丁基数，则K是不可达基数并且存在K个小于、的基数8满足对于任意的}1Gk,8是几强基数.11111 作为公理集合论研究的三大主流之一，大基数公理的研究与可构造性及力迫法这两者的研究有很大的不同:如果说后两者对集合论中的相容性与独立性进行精细的探讨与刻画的话，那么前者则是充分使用各种数学工具，开拓越来越丰富的集合论研究对象.