代数数论

本书为《中国科学院研究生教学丛书》之一.

代数数论是研究代数数域和代数整数的一门学问. 本书的主要内容是经典代数数论. 全书共分三部分: 第一、二部分为代数理论和解析理论, 全面介绍了19世纪代数数论的成就; 第三部分为局部域理论, 简要介绍了20世纪代数数论的一些内容. 附录中给出了本书用到的近世代数的基本知识和进一步学习代数数论的建议. 每节末附有习题.^[1]

冯克勤, 清华大学教授. 1941年出生, 1968年中国科学技术大学数学系研究生毕业. 1973至2000年在中国科学技术大学数学系和研究生院 (北京) 任教, 2000年后到清华大学数学系工作. 从事代数数论和代数编码理论研究. 出版专著《分圆函数域》、《代数数论简史》等，出版大学生和研究生教材《整数与多项式》、《近世代数引论》、《交换代数基础》、《代数数论》和《代数与通信》等, 主编丛书《走向数学》.

目录

第一部分 代数理论

1 代数数域和代数整数环

1.1 代数数域

1.2 代数整数环

2 整数环中的素理想分解

2.1 分解的存在唯 一性

2.2 分歧指数,剩余类域次数和分裂次数

2.3 伽罗瓦扩域中的素理想分解

2.4 Kronecker-Weber定理

3 理想类群和单位群

3.1 类群和类数

3.2 Dirichlet单位定理

第二部分 解析理论

4 ζ(s), L(s,χ) 和ζΚ(s)

4.1 Dirichlet级数的一般理论

4.2 Riemann zeta函数ζ(s) 和 Dirichlet L-函数L(s,χ)

4.3 Dedekind zeta函数ζΚ(s)

5 密度问题

5.1 Dirichlet密度

5.2 Abel L-函数, Чебтарёь密度定理

6 Abel数域的类数公式

6.1 Hasse类数公式

6.2二次域的类数公式

6.3 分圆域的类数公式, Kummer的结果

第三部分 局部域理论

7 赋值和赋值域

7.1 从例子谈起: p进赋值

7.2 赋值和赋值域

7.3 离散赋值域

7.4 分歧指数和剩余类域次数

8 完备化和赋值的扩充

8.1 完备赋值域

8.2 Hensel引理、牛顿逼近和牛顿折线

8.3 赋值的扩充 (完备情形)

8.4 不分歧扩张和完全分歧扩张

8.5 数域和它的局部化

9 应用举例

9.1 关于费马猜想的Kummer定理 (第2种情形)

9.2有限域上多项式的零点

9.3有理数域上的二次型

9.4 p进分析

9.5 组合数学

结语: 20世纪的数论: 皇后与仆人

附录Α 关于群、环、域的一些知识

附录Β 进一步学习的建议^[1]