代数余子式

在n阶行列式D中划去任意选定的k行、k列后，余下的元素按原来顺序组成的n-k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式A的余子式。如果k阶子式A在行列式D中的行和列的标号分别为i1，i2，…，ik和j1，j2，…，jk。则在A的余子式M前面添加符号：

后,所得到的n-k阶行列式，称为行列式D的k阶子式A的代数余子式。^[3]

例1在五阶行列式^[1]

中，划定第二行、四行和第二列、三列，就可以确定D的一个二阶子行列式

A的相应的余子式M为：

子行列式A的相应的代数余子式为：

例2一个元素的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素所在的位置有关。例如在行列式^[4]

中，将该行列式中1行1列元素a换成b，其代数余子式都是

求元素的代数余子式时，要特别注意余子式前面的符号（-1）的i+j次方。^[4]

带有代数符号的余子式称为代数余子式，计算元素的代数余子式时，首先要注意不要漏掉代数余子式所带的代数符号^[5]。

计算某一行(或列)的元素代数余子式的线性组合的值时，尽管直接求出每个代数余子式的值，再求和也是可行的，但一般不用此法，其原因是计算量太大，注意到行列式D中元素的代数余子式与的值无关，仅与其所在位置有关，利用这一点，可将D的某一行(或列)元素的代数余子式的线性组合表示为一个行列式，而构造这一行列式是不难的，只需将其线性组合的系数替代D的该行(或该列)元素，所得的行列式就是所要构造的行列式，再应用下述行列式的展开定理，即命题1和命题2，就可求得的值。

命题 1n阶行列式等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和：

命题2n阶行列式的任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零：

例3已知2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，求D。

解按该列展开：注意到该列元素的代数余子式中有n个为a,n个为-a，从而行列式的值为0。