切向量

在定义切向量之前，首先给出光滑函数的定义。叙述中都将按国际非线性学术界表达惯例，向量将一律用白斜体字母表示^[2]。

定义1设A是的一个开子集（即A内每点都可找到一个完全属于A的邻域），是一个函数。f点z的值记为。如果f对的任意阶偏导数存在且连续，则称函数f是类函数(function of class)，简称f是一个函数或称f是一个光滑函数(smooth function)。如果函数f是的，且对任意指定点，存在的一个邻域U，使对所有，f在的Taylor级数展开式都收敛到，则称f是一个函数或称f 是一个解析函数( analytic function)。

定义2一流形N上有定义的所有光滑函数的集合，记为。在流形N上一点p的邻域有定义的所有光滑函数的集合，记为。^[2]

设N是一个n维光滑子流形，是在N上p点有定义的光滑函数集合，是定义在上的泛函（算子），如果v有下列性质（也称求导性质）^[2]：

(1)线性性

(2)符合Leibnitz规则^[2]

则称v是定义在流形N上某点p的一个切向量(tangent vector)。

下面对以上定义作一些概念性说明^[2]。

(1)流形(manifold)是拓扑学和微分几何中的重要概念。不过，为不涉及过多的数学基础，此处不准备作严格的定义。从概念上说，一个n维流形可理解为由多个同为n维的曲面（或超曲面）经拼接所得到的曲面（或超曲面）。

(2)流形的一个特征是，它的一个局域可以与一个n维欧氏空间之间建立起点与点间的一对一映射关系，它的每个局域可以分别与各自的一个n维欧氏空间之间建立起点与点间的一对一映射关系，并可在此基础上建立起通用于各局域的流形局部坐标系，从而变成可度量的( metrizable)。

(3)具有微分结构的流形被称为微分流形(differential manifold)。这里所说的微分结构，是指参与拼接的曲面（或超曲面）彼此拼接得是如此之好，以至于流形作为一整体与n维欧氏空间之间的映射能达到任意次可微的程度，即达到光滑的程度。因此微分流形也称为光滑流形(smooth manifold)或简称流形。微分流形可理解为是由多个同为n维的光滑曲面（或超曲面）经拼接所得到的光滑曲面（或超曲面），也就是有任意阶导数的n维曲面（或超曲面）。

(4)定义在流形N上的光滑函数就是定义在流形N的局部坐标系上的函数。对于一个光滑流形而言，其各阶导数都存在。

(5)光滑函数在某方向上的变化率，一般称为方向导数(directional derivative)。方向导数取值是一实数。算子v表示求方向导数的操作，故其映射关系可表示为。

(6)求导的方向在函数的定义域上表示，即指的是流形局部坐标平面（或超平面）上定的方向，而不是指在曲面的切平面（或超切平面）上定的方向。

切向量和方向导数有密切关系，但这是两个不同的概念。切向量被定义为一个抽象的泛函（算子），指的是至欧氏空间的一个映射，而方向导数则指的是该映射的像值^[2]。

（流形上的切向量，切向量和方向导数的差异）设是定义在上的（光滑）函数在点x的方向导数(即在定义域一定方向上的坡度或变化率）定义为^[2]

式中，是表示方向的系数。方向可以是给定的方向，也可以是某个体现函数自身性质的方向。

比如，在点x的梯度(gradient)被定义为向量

在点x的方向导数在此方向有最大坡度值，梯度方向是上升最陡的方向，所体现的就是函数自身的性质。

如果把式改写成

注：其中中的三部分分别为切向量的基底、方向向量、光滑函数，这三部分组成一个切向量；为方向导数。

可见方向导数可拆成三部分。方向导数的前面两部分，即切向量的基底和方向向量合称为切向量。此切向量完全符合切向量定义。

方向的表示方法一般有两种。一种是用方向余弦向量表示，另一种是用方向数向量表示。切向量的方向一般都用后一种表示。方向数向量归一化后等于方向余弦向量。也可以说方向数向量等于方向余弦向量外乘一个常数。该常数表示向量的长度或大小。所以通常所说的方向向量不仅指方向，还可能包括其长度。切向量的方向和大小都是点的函数。在不同点上，不仅方向可能不同，而且外乘的常数（向量的长度）也可能会随之不同。尽管方向数向量有外乘常数，不仅表示方向，但为方便，以后仍将把它们和方向余弦向量一样看待，一律笼统地称为方向向量。^[2]