卡克-穆迪代数

假定以下材料:

——一个r秩广义嘉当矩阵(generalised Cartan matrix)

———— 一个 2n−r 维复向量空间

———— 的对偶空间

————中n枚相互线性独立的元，称为对偶根(co-root)

————中n枚线性相互线性独立的元，称为根(root)

上述各元满足

Kac–Moody代数

由符号 e, f (i=1,..,n) 及空间生成：

以上各元满足以下关系:

；

；其中 ；

，其中；

，其中 ；

，其中；

，其中e出现1-c次；

，其中f出现1-c 次。

(其中)

一个 实(维数可以无限)李代数亦可称为Kac–Moody代数，如果复化是 Kac–Moody代数的话。

卡克-穆迪代数图册(10)

卡克-穆迪代数图册(10)

是此 Kac–Moody 代数的一嘉当子代数。

若g是 Kac–Moody 代数的一元，使得

其中 ω 是的一元，

则称g为权(weight) ω的。我们可分解一Kac–Moody 代数成其幂空间，则嘉当子代数的幂为零，的幂为α*，而的幂为−α*。若二幂特征向量的李括号非零，则其幂是二幂之和。（若） 则 一条件即指 α* 都是简单根。

卡克-穆迪代数图册(2)

卡克-穆迪代数图册(2)