- 正多面体
正多面体
简介
仅有的五种正多面体，即是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
所谓正多面体，当然要首先保证它是一个多面体，而它的特殊之处就在于它的每一个面都是正多边形，而且各个面的正多边形都是全等的。也就是说，将正多面体的各个面剪下来，它们可以完全重合。虽然多面体的家族很庞大．可是正多面体的成员却很少，仅有五个。
这几个正多面体分别是由什么组成的呢?
正四面体是由四个全等的等边三角形组成的；正六面体是由六个全等的正方形组成的；正八面体是由八个全等的等边三角形组成的；正十二面体是由十二个全等的正五边形组成的；正二十面体是由二十个全等的等边三角形组成的。[1]
正多面体的各种参数如下表所示。
| 类型 | 面数 | 棱数 | 顶点数 | 每面边数 | 每顶点棱数 |
| 正4面体 | 4 | 6 | 4 | 3 | 3 |
| 正6面体 | 6 | 12 | 8 | 4 | 3 |
| 正8面体 | 8 | 12 | 6 | 3 | 4 |
| 正12面体 | 12 | 30 | 20 | 5 | 3 |
| 正20面体 | 20 | 30 | 12 | 3 | 5 |
种类
| 类型 | 面数 | 棱数 | 顶点数 | 每面边数 | 每顶点棱数 |
| 正4面体 | 4 | 6 | 4 | 3 | 3 |
| 正6面体 | 6 | 12 | 8 | 4 | 3 |
| 正8面体 | 8 | 12 | 6 | 3 | 4 |
| 正12面体 | 12 | 30 | 20 | 5 | 3 |
| 正20面体 | 20 | 30 | 12 | 3 | 5 |
性质
只有五种多面体是正多面体。
证明如下：设正多面体每个顶点有m条棱，每个面都是正n边形，多面体的顶点数是V，面数是F，棱数是E。因为两个相邻面有一公共棱，所以
因为两个相邻顶点有一公共棱，所以
又因多面体的Euler定理，得V+F-E=2，从上面三式可得
要使得上面的式子成立，必须满足2m+2n-mn>0，即1/m+1/n>1/2。因为m≥3，所以
于是n<6。
当n=3时，m<6，所以m能取的值是3、4、5；
当n=4时，m<4，所以m能取的值是3；
当n=5时，m<10/3，所以m能取的值是3。
当n=3，m=3时，V=4，F=4，E=6；当n=3，m=4时，V=6，F=8，E=12；当n=3，m=5时，V=12，F=20，E=30；当n=4，m=3时，V=8，F=6，E=12；当n=5，m=3时，V=20，F=12，E=30；所以正多面体只有上述五种。[2]
相关百科
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