半正多面体

多面体的多面角都合同，当这些多面角由两种(及)以上正多边形构成，则多面体称为半正多面体。例如把正四面体一条棱各三等分，沿三等分点从原体割去四个小正四面体，余下的多面体就成为半正多面体，它的多面角都合同，这些多面角都由1个正三角形，2个正六边形构成。这一半正多面体我们记为3·62。

阿基米德发现了全部13个可能的所谓半正多面体。正多面体的面都是同一类型的正多边形，而半正多面体是一个凸多面体，它的面也是正多边形，但并非全都是同一种类型。例如，如果我们从一个立方体a的8个角上各切掉一个边长为的四面体，结果得到的图形就是一个半正多面体，或称阿基米德多面体，其表面由8个等边三角形和6个正八边形构成^[2]。

命题半正多面体（表1）有13种：

我们用表示每一多面角由r个正m边形，s个正n边形，t个正p边形构成的半正多面体^[3]。

表 1 13种半正多面体

种类		面数F	顶点数V	棱数E	体积为1的棱长
	3·62	8	12	18	0．717
	3·4·3·4	14	12	24	0．445
	4·62	14	24	36	0．263
	3·82	14	24	36	0．419
	3·5·3·5	32	30	60	0．227
	5·62	32	60	90	0．486
	3·43	26	24	48	0．751
	34·4	38	24	60	0．417
	3·102	32	60	90	0．287
	3·4·5·4	62	60	120	0．502
	4·6·8	26	48	72	0．296
	34·5	92	60	150	0．288
	4·6·10	62	120	180	0．169

命题半正多面体只有13种。

证明我们记每一多面角顶点围绕s个正多边形，其中s₁个正r₁边形，s₂个正r₂边形，......sn个正rn边形，s=s1+s2+...+sn，又设此半正多面体中共有个正r₁边形，个正r₂边形，....，个正rn边形，则

而

又

把(i)~ (iii)代人Euler示性数公式v+f=e+2，并进行整理，得到半正多面体的特征方程^[3]：