数列求和

数列求和(3)等差数列求和公式:

（首项+末项）×项数/2

举例：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9/2=45

等比数列求和公式：

差比数列求和公式：

a:等差数列首项

d:等差数列公差

e:等比数列首项

q:等比数列公比

其他

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）

{ an}、{ bn}分别是等差数列和等比数列.

例如：

______①

Tn=上述式子/(1-q)

此外.①式可变形为

Sn为{bn}的前n项和.

此形式更理解也好记

该公式又叫做分部求和公式，是离散型的分部积分法，最早由数学家阿贝尔提出。这个方法也适合解决等差等比数列相乘的数列求和，但比起上面的错位相减法，该方法方便快捷并且证明十分容易，考试中先写出证明过程再直接代公式即可。

设{an}为公差为d的等差数列，{bn}为等比数列，Sn为数列{bn}的前n项和，Tn为数列{anbn}的前n项和，则：

再利用等比数列的求和公式把Sn写出来即可。（这里不写是因为化简后的公式十分复杂，字母繁多，不如具体问题具体分析）

证明：

事实上因为，所以

括号里面又含有等比数列前n-1项和（首项和公比均为q），所以这个方法看起来长，但只要反复运用等比数列求和公式便可以求出Tn。

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn=a1+ a2+ a3+...... +an

Sn=an+ an-1+an-2...... +a1

上下相加得Sn=(a1+an)n/2

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例如：an=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和

Sn=a1+a2+...+an

=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1

=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)

=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2

=2n+1+n(n-1)/2-2

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

常用公式：

（1）

（2）

（3）

（4）（当a≠b时）

（5）

[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：an=1/n(n+1)=（裂项）

则Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

= 1-1/(n+1)

= n/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意：余下的项具有如下的特点

1、余下的项前后的位置前后是对称的。

2、余下的项前后的正负性是相反的。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：

求证：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明：

当n=1时，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立，于是：

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

先将通项公式进行化简，再进行求和。

如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

（常采用先试探后求和的方法）

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

方法一：（并项）

求出奇数项和偶数项的和，再相减。

方法二：

（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

方法三：

构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。

an=n(-1)^（n+1）

通项式为K^m （m为自然数）的数列求和公式

系数数列为

为{1；1/2；1/12；0；-1/720；0；……}其除第二项的所有偶数项皆为0,证明略.

例如m等于2 求和公式

通项式为多项式的数列求和公式

通项式为多项式的数列求和公式为其中各项求和公式简单的线性组合。不做赘述。

数列求和(27)常用方法有：

1. 通过恒等变形化为可用极限四则运算法则的情形；
2. 适当放大缩小法则；
3. 化为积分和利用定积分求极限；
4. 利用数值级数求和的方法。