等差数列

对于数列{}，若满足：

则称该数列为等差数列。其中，公差d为一常数，n为正整数。

等差数列通项公式通过定义式叠加而来。

如果一个等差数列的首项为，公差为d，那么该等差数列第n项的表达式为：

已知通项公式求前n项和公式

结论：我们可以把所有的方阵看成一个线性变换

1,2题的方阵记做D2

3,4题的方阵记做D3

5题的方阵记做D4

D2包含在D3中，D3包含在D4中

把所有的方阵记做Dn，Dn是可逆方阵Dn方阵十分容易构造（首先是一个上三角矩阵）

1. 方阵的主对角线是从1到n的正整数
2. 如果先不管方阵中的正负号a.第一行全是1b.从2行3列开始所有元素都遵守如下规律Dn(i,j)=Dn(i-1,j)+Dn(i-1,j-1)，就是说，除了第一排和主对角线的元素，所有元素的值都等于相邻左边元素的值加上相邻左上角的值
3. 把主对角线看成一斜列，往方阵右上角看，都是一列正一列负

Dn还有如下特征

1. 每一列的和为1
2. Dn逆矩阵每一列的和为1

记Dn的逆矩阵为Fn

附上MATLAB中的构造程序

若一个等差数列的首项为，末项为那么该等差数列和表达式为：

（1）从通项公式可以看出，是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，排在一条直线上，由前n项和公式知，是n的二次函数(d≠0)或一次函数，且常数项为0。

（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=ak+an-k+1

（4）其他推论：

① 和=（首项+末项）×项数÷2；

②项数=（末项-首项）÷公差+1；

③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；

④末项=2x和÷项数-首项；

⑤末项=首项+（项数-1）×公差；

⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。

等差中项即等差数列头尾两项的和的一半，但求等差中项不一定要知道头尾两项。等差数列中，等差中项一般设为。当成等差数列时，，所以为的等差中项，且为数列的平均数。并且可以推知n+m=2×r，且任意两项的关系为：，(类似)，相当容易证明，它可以看作等差数列广义的通项公式。

等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有。则。

其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了的求和公式。

（1）数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S =+的形式(其中a、b为常数)。

（2）在等差数列中，当项数为时，；当项数为时，。

（3）若数列为等差数列，则…仍然成等差数列，公差为。

（4）若数列均为等差数列，且前n项和分别是，则=。

（5）在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a－b)。

（6）记等差数列的前n项和为S。①若a >0，公差d<0，则当a ≥0且+1≤0时，S 最大；②若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且+1≥0时，S 最小。

（7）若等差数列Sp=q,Sq=p,则Sp+q=0。

（1）(d为常数、n ∈N*)或，n ∈N*，n ≥2，d是常数]等价于成等差数列。

（2）等价于成等差数列。

（3）[k、b为常数,n∈N*]等价于成等差数列。

（4）[A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于为等差数列。

在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,

即，中。

例：数列：1，3，5，7，9，11中，即在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。

数列：1，3，5，7，9中。

即若项数为奇数，和等于中间项的2倍，另见，等差中项。