勒让德变换

为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构，表述此系统的函数关系改用一个新函数来表示，其变数是的导数，。而的值是如右图蓝线在 y 轴的负截距

换句话说，从x 值到 y 值的函数，转换成f(x) 在 x 点的导数到在 x 点切线 y 截距的函数

这程序是由阿德里安-马里·勒壤得所发明的，因此称为勒让德变换。称函数为的勒让德变换；

用方程表示

。

此式子表示中的 u 对而言是个参数，且参数 u 会满足的。即求算表达式关于变数的极值。

为方便讨论，把讨论限定在为严格单调递增。会有这方程是因为在也就是斜率不变的状况下，对每个而言，所有与曲线相交且斜率为的直线族为。若令，该直线即是在的切线方程。把x当作常数并由右图直接观察可知，在的情况下，值是最小的，也就是说直线方程中这部分是最大的，而正好，正是原方程所求的极值。

勒让德变换是点与线之间对偶性关系（duality）的一个应用。函数设定的函数关系可以用点集合来表示；也可以用切线(在严格单调递增的讨论下，切线跟导数p有一对一的关系)集合表示。

若将勒让德变换广义化，则会变为勒壤得-芬伽转换（Legendre-Fenchel transformation）。勒让德变换时常用于热力学与哈密顿力学。

更详细地定义勒让德变换，为了求得关于的最大值，设定关于{\displaystyle x\,\!}的偏导数为零：

。

则

。(1)

这表达式必为最大值。因为，凸函数的二阶导数是负数：

；

用方程 (1) 来计算函数的反函数。代入方程，即可以得到想要的形式：

。

计算的勒让德变换，所需的步骤为：

找出导函数，

计算导函数的反函数，

代入方程来求得新函数。

这定义切确地阐明：勒让德变换制造出一个新函数；其新自变数为。

另外一种勒让德变换的定义是：假若两个函数与的一阶导数是互相的反函数；

，

或者，

，

则与互相为彼此的勒让德变换。

依照定义，

，

。

思考下述运算：

。

所以，

；

这里，。

这答案是标准答案；但并不是一个答案。设定

，

也可以满足定义的要求。在某些情况下（例如：热力势（thermodynamic potential），会采用非标准的答案。除非另外注明，此页面一律采用标准答案。

在热力学里，使用勒让德变换主要的目的是，将一个函数与所含有的一个自变数，转换为一个新函数与所含有的一个新自变数，（此新自变数是旧函数对于旧自变数的偏导数）；将旧函数减去新自变数与旧自变数的乘积，得到的差就是新函数。勒让德变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。例如，内能是外延量（extensive）熵，体积，与化学成分（chemical composition）的显函数

。

对于，函数（非标准的）勒让德变换为焓函数：

，

。

一个熵与内含量（intensive）压力的函数。当压力是常数时，这函数很有用。

对于，函数勒让德变换为吉布斯能函数:

，

。

对于，函数勒让德变换为亥姆霍兹自由能函数:

，

。

这些自由能函数时常用在常温的物理系统。

在经典力学里，勒让德变换专门用来从拉格朗日表述导引出哈密顿表述，或反导之。拉格朗日量是广义坐标与广义速度的函数；而哈密顿量将函数的自变量转换为广义坐标与广义动量：

，

。

正则变换广泛地应用勒让德变换在其理论里。正则变换是一种正则坐标的改变，，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换的方程为

，

，

；

这里，是旧正则坐标，是新正则坐标，是旧哈密顿量，是新哈密顿量，是生成函数。